Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, lindi në shekullin e XIX si disiplinë matematike, është paraprijëse e matematikes moderne. Punime të çmueshme në teorinë e grupeve kanë dhënë ndër të tjerë Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie etj.

Përkufizimi i grupit

Çifti i renditur (G, ×), ku G është një bashkësi dhe × është një veprim i brendshëm mbi G, quhet grup, në qoftë se plotësohen këto aksioma :

1. vetia asociative: a × (b × c) = (a × b) × c për të gjithë elementet a, b, c nga G.
2. elementi neutral / (elementi njësi): Një element e (quhet edhe njësh, element njësi) në G ekziston, i tillë që për të gjithë elementet a nga G vlen vetia e × a = a .
3. elementi inverz / (i anasjelltë): Për çdo element a në G ekziston një element b, i tillë që vlen barazimi a × b = b × a = e .

(Nganjëherë merret si aksiomë e parë "aksioma e mbylljes" sipas së cilës për çdo dy elemente a,b nga G, atëherë a × b është poashtu në G. Mirëpo, kjo "aksiomë" rrjedh nga përkufizimi i veprimit të brendshëm, andaj nuk ka nevojë të shkruhet si e veçantë.)

Në qoftë se në grupin (G, ×) vlen a × b = b × a, për çdo element a, b nga G, atëherë (G, ×) quhet grup abelian (ose ose komutativ).

Direkt nga aksiomat e grupit rrjedhin këto pohime:

Në qoftë se për elementin neutral e të grupit G plotësohet ekuacioni e x a = a për çdo a nga G, atëherë plotësohet edhe ekuacioni a x e = a : a = e × a = (a × b) × a = a × ( b × a) = a × e , kështu që a = e × a = a × e.

Në çdo grup elementi neutral është i vetëm: Le të jenë e edhe e' dy elemente neutrale në grupin G. Atëherë ndjek qe e = e × e' = e', kështu qe e = e'.

Pra ne mund të flasim për elementin neutral të grupit G.

Për çdo element a, elementi simetrik për të është i vetëm, sepse: Le të jenë b dhe b' dy elemente simetrike për elementin a, kështu që a × b = b × a = e dhe a × b' = b' × a = e. Atëherë ndjek që b = b × e = b × ( a × b') = (b × a) × b' = e × b' = b'. Prandaj ne mund të flasim për elementin simetrik të elementit a.

Në qoftë se veprimi × mbi grupin G është shënuar me mënyrën e shumëzimit, atëherë zakonisht elementi neutral shënohet me 1, kurse elementi simetrik për a shënohet me a^-1. Kurse, në rastet kur veprimi × mbi grupin G është shënuar me mënyrën e mbledhjes, atëherë zakonisht elementi neutral shënohet me 0, kurse elementi inverz për a shënohet me -a.

Duhet theksuar se zakonisht × shënohet me mënyrën e mbledhjes kur kemi të bëjmë me një grup abelian.

Rendi i grupit

Rendi |G| i një grupi (G,×) është numri i elementeve të bashkësisë G.

Shih edhe

• Bashkësitë
• Ndihmë:Formula